命題と論理式

論理問題を考えるときに、『命題』は、しばしば問題となりますが、『論理式』で表すことで、判断しやすくなるので、『論理式』のルールは覚えることが大切です。

命題と論理式

まずは、『命題』とは何ぞやということになりますが、真か偽かの区別ができる文章や式のことを『命題』といいます。
『論理式』は、命題で与えられた文章を式であらわしたものになります。
論理式では、「ＡならばＢである」という命題を、「Ａ→Ｂ」といったように表します。
これは、「ＡはすべてＢに該当する」という意味になります。
わかりにくいので、例として具体的な文章をあげてみます。
「リンゴは果物である」という命題があったとき、「リンゴ→果物」と論理式で表せます。
つまり、リンゴであればすべて果物に該当することになります。
論理式では、「Ａ］の否定、つまり「Ａでない」場合は、論理式では「Ａ」のように、上に￣（読み方はバー）をつけます。

対偶

命題の問題を考えるにあたって、重要な考え方の一つに『対偶』があります。
「Ａ→Ｂ」に対して、「Ｂ→Ａ」のことをその『対偶』と言います。
そして、この『対偶』は、もとの命題と同じ内容となります。
たとえば、「リンゴは果物である」という命題の対偶は、「果物でなければリンゴではない」ということになります。
命題の内容を変えずに、論理式の形を変える場合は、『対偶』を作ればいいというのが、命題に関する問題を解くにあたっての大きなポイントになります。

三段論法

三段論法は、昔からディベートなどでもよく使われてきた手法ですが、要するに「Ａ→Ｂ」、「Ｂ→Ｃ］であれば、「Ｂ」が共通していることから「Ａ→Ｃ」というものです。
具体例で示すと、「リンゴは果物である」、「果物はビタミンが豊富である」という２つの命題から、「リンゴ→果物→ビタミン」とつながり、「リンゴ→ビタミン」となり、「リンゴはビタミンが豊富である」となります。
間にいくつもの項目が挟まっていても、最終的につながればいいのです。

分解可能な命題

命題の中には、「ＡかつＢ」、あるいは「ＡまたはＢ」という場合があります。
「ＡかつＢ」は論理式で表すと「Ａ∧Ｂ」となり、「ＡまたはＢ」は論理式で表すと「Ａ∨Ｂ」となります。

「かつ」あるいは「また」を含んだ命題は、分解できるものとできないものがあるので、次の４パターンを頭に入れておく必要があります。

事例をあげて検証してみます。
①の例として、「彼はカレーライスもラーメンも好きです。」は、「彼はカレーライスが好きです。」と「彼はラーメンが好きです。」に分解することができます。

➁の例として、「彼はカレーライスとラーメン、少なくともどちらかは好きです。」は、「彼はカレーライスが好き」とも「彼はラーメンが好き」とも言い切れず、分解できません。

➂の例として、「ＡさんもＢさんもカレーライスが好きです。」は、「Ａさんはカレーライスが好きです。」と「Ｂさんはカレーライスが好きです。」に分解することができます。

④の例として、「ＡさんとＢさん、少なくともどちらかはカレーライスが好きです。」は、「Ａさんがカレーライスが好き」とも「Ｂさんがカレーライスが好き」とも言い切れず、分解できません。。
迷ったり、わからなくなったら、身近な文章で考えてみると良いかもしれません。

命題の問題を解いていくにあたり、押さえておきたい重要な法則が、『ド・モルガンの法則』です。

『ド・モルガンの法則』は、ある集合が別の集合と等しくなるという法則で、２種類あります。

① の例だと、「メガネをかけた女性」、つまり「メガネ∧女性」の否定、「メガネ∧女性」は、「メガネをかけている女性ではない」ということになるので、メガネをかけていない人か、女性ではない人と同じになります。

➁の例だと、「英語か日本語少なくともどちらかが話せる人」、つまり「英語∨日本語」の否定、「英語∨日本語」は、「日本語も英語も話せない人」つまり日本語が話せずかつ英語も話せない人と同じになります。

つまり、