４種類のノート（小学５年生以下が解く算数の良問）

ジュニア算数オリンピックファイナルの問題に次のような問題がありました。

という問題です。

小学５年生以下が解くにはちょっと難しいかなという感じで、さすがジュニア算数オリンピックファイナルの問題かなと思いました。

まとめてみると次のようになります。

一番安いノートＤを買うと、３８０５÷１５４＝２４．７で２４冊買えます。
一番高いノートＡを買うと、３８０５÷２３１＝１６．５で１６冊買えます。
つまり、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４種類のノートは、合計で１６～２４冊買ったことになります。

方程式なんかじゃ解けない

こういう問題を見た時に、すぐに方程式を立てて解こうとする人が結構います。
ノートＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄを買った冊数をそれぞれ、ａ、ｂ、ｃ、ｄとすると、

２３１ａ＋２２１ｂ＋１７６ｃ＋１５４ｄ ＝ ３８０５
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１６～２４？

未知数がａ、ｂ、ｃ、ｄと４つあり、式は２つしかないので、これでは求められないことがすぐにわかります。

さて、２３１、２２１、１７６、１５４という数字を見ていて、勘の鋭い人は、もしかして１１の倍数が多くないかなと気づきます。

という特徴があるという知識を知っていれば、２３１も１７６も１５４も、１＋２－３＝０、６＋１－７＝０、４＋１－５＝０で０となり、１１の倍数となるので１１の倍数、一方、２２１は、１＋２－２＝１となり１１の倍数とならないので２２１は１１の倍数でないと判断できます。

実際に、

となり、２２１を除く、２３１、１７６、１５４は、いずれも１１の倍数ということがわかります。

２３１－１５４＝７７
１７６－１５４＝２２
と、それぞれのノートの単価の差が１１の倍数から、もしかしたら各ノートの値段は、１１の倍数になっているのではないかと気づく人もいるかもしれません。

すると、ＡとＣとＤの購入金額の合計は、個々のノートの値段が１１の倍数だったので、当然１１の倍数になります。

そして、
３８０５－（１１の倍数になるＡ・Ｃ・Ｄのノートの購入額）＝（ノートＢの購入冊数）×２２１
となります。

そこで、全体の３８０５円からノートB（２２１円）を何冊か買った時の残りを表にします。
その残高が、１１の倍数になるはずなので、残高が１１の倍数になるノートBの購入冊数を探します。

まとめた表の結果は以上の通りですが、ここで残高が１１の倍数かどうかは、先ほどの判断基準で見ていきます。

すると、ノートBを１０冊買った時、３８０５円からの残高、つまりノートA、C、Dの後継金額が、１５９５円のときのみ、残高が１１の倍数になります。
（５＋５－９－１＝０ で１１の倍数）
したがって、ノートBは、１０冊購入していることになります。

さて、ノートＢを１０冊購入したということがわかり、その残高の１５９５円でノートＡ、ノートＣ、ノートＤを購入していることになります。

とりあえず、１５９５円は１１の倍数ということになるので、１１で割ってみると
１５９５÷１１＝１４５とでてきます。

以上の結果から
ここで、ノートＡの購入冊数をａ、ノートＣの購入冊数をｃ、ノートＤの購入冊数をｄとすると

２１ａ＋１６ｃ＋１４ｄ＝１４５

ということが言えます。

式が一つで未知数がａ、ｃ、ｄと３つあるので普通の方程式では答えが出せませんが、ａ、ｃ、ｄはノートの購入冊数ですので、全て整数となり、そうすると話は違ってきます。

とりあえず、数が一番大きいａが、検証するケースを一番少なくできるので、ａに注目して、１４５－２１ａの表を作ってみます。
１４５－２１ａを、１６ｃと１４ｄで分ければいいのです。

これであとは残ったｃとｄを検討します。

数が小さいほうからのほうが検討しやすいので検討していきます。
表より、９ケースほど検討すればいいことがわかります。

まずは、ｃとｄが整数であれば、１６ｃも１４ｄも偶数となり、当然１６ｃ＋１４ｄもなるので、１６ｃ＋１４ｄが１９、６１、１０３になるケースはあり得ないことがすぐにわかります。

つまり１６ｃ＋１４ｄが４０、８２、１２４の３ケースだけ検討すればよいのです。

１６ｃ＋１４ｄが４０の時、一の位の０に注目します。
すると１６ｃが１６のとき、１４ｄの一の位は４になるので、一の位が４のところだけ見ていくと８４がありましたが、１６＋８４＝１００となり、４０ではありません。
１６ｃが３２の時も違います。

１６ｃ＋１４ｄが８２の時、１６ｃが１６だと一の位が６を探していきますが、１６＋５６＝７２で８２にはなりません。

１６ｃが３２だと一の位が０を探しますが、３２＋７０＝１０２で違います。

１６ｃが４８だと一の位が４を探しますが、４８＋１４＝６２でこれも違います。

１６ｃが６４だと一の位が８を探しますが、６４＋２８＝９２でこれも違います。

１６ｃが８０の場合は、２でないと合計が８２にならないのでこれも違います。

なので
１６ｃ＋１４ｄが１２４の時が正解のようです。

同様に検討していくと、１６ｃが９６、１４ｄが２８のとき、９６＋２８＝１２４になりました。

つまり、ノートＣを６冊、ノートＤを２冊、ノートＡは１冊購入していたことがわかりました。

従って、答えは、
ノートＡを１冊、ノートＢを１０冊、ノートＣを６冊、ノートＤを２冊の計１９冊購入しているという答えになりました。

念のため、検算してみます。

２３１×１＋２２１×１０＋１７６×６＋１５４×２
一の位だけみていくと、１＋０＋６＋８　＝１５となり、５になり、３８０５の一の位と一致しているので、どうやらあってそうです。
それでもさらに念のため計算してみると、やはり３８０５になっているので、これが正解です。