絞り込んでいって解く簡単な整数問題

それぞれ６、７、１１で割った時の余りは、４、３、９となっていてバラバラです。

結構ややこしそうなので、まずは簡単な例題から考えてみます。
まずは、条件を２つに絞って、余りも同じにして考えてみます。

この場合、『３で割って２余り、５で割って２余る』というように、余りが２で一致しているので、３と５の最小公倍数に＋２すれば良いことになります。

つまり、該当する正の整数は、１５ｍ＋２の形で表すことができ、最少の数は１７になります。

次に条件を２つのまま、余りを違えてちょっとひねってみます。

この場合は、発想を少し変えてみます。
３で割って２余るということは、３で割ったとき、割り切れるまでに１不足している数とも言えます。

同様に、５で割って４余るということは、５で割ったとき、割り切れるまでに１不足している数とも言えます。

ということは、３で割っても５で割っても割り切れるまでに１不足する数ということになるので、３と５の最小公倍数よりもー１となり、１５－１＝１４になります。
そして、１５ｍ－１の形で表すことができます。

それじゃ、今度は、余りも不足も一致しないようにしてみましょう。

こうした場合は、それぞれの条件を満たす数を書いていっちゃいましょう。

３で割ると２余る数　：　２，５，８，１１，１４，１７，２０，２３，２６，２９，３２，３５，３８，４１，・・・
５で割ると３余る数　：　３，８，１３，１８，２３，２８，３３，３８，４３，・・・

すると共通した数は、８、２３となります。

条件を満たす最小の数は、これですぐに８とわかります。

さらに２３－８＝１５で、３と５の最小公倍数になっていることから、２３の次は２３＋１５＝３８でないかと予測ができます。
つまり、条件を満たす最小の数がみつかれば、それに割る数の最小公倍数を足していけばいいのです。

６で割った時４余り、７で割った時３余り、１１で割った時９余る正の整数のうち、最も小さい数はいくつになるでしょうか？

余りもバラバラだし、いきなり３条件は難しいので、少なくとも２条件で何か一致したものがないか探してみます。
余りはバラバラなので、もしかしたら不足は同じになるかもと検討してみると

そこで不足が２で一致する６と１１で割った時を考えると、
６で割った時４余り、１１で割った時３余る数は、６と１１の最小公倍数である６６で割った時、２不足する数になります。
つまり、６６－２＝６４となります。

あとは、６で割った時４余り、１１で割った時３余る数と、残りの７で割った時３余る数で共通するものを見つけていけばいいことになります。

６で割った時４余り、１１で割った時３余る数は、６４に、６と１１の最小公倍数の６６を足していった数になります。
すなわち、６４，１３０，１９６，２６２，３２８，３９２，・・・

ということで、条件を満たす数は、２６２になります。