８つの整数から作られる４桁の整数の問題

次の(　　）にあてはまる数を求めなさい。
１、２、３、４、５、６、７、８から異なる４つを選び、大きい方から順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとします。
また、選ばなかった残りの４つを並び替え、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈとします。
４桁の整数ＡＢＣＤから４桁の整数ＤＣＢＡを引いた差は、４桁の整数ＥＦＧＨでした。
このとき、４桁の整数ＡＢＣＤは、（　　）です。

この問題を、Ａが１、Ｂが２、Ｃが３、Ｄが４のとき、４３２１－１２３４＝３０８７というように１個１個計算して検証していったら大変な労力になってしまいます。
単純に組み合わせを考えても、８個の数字の中からまず４個選ぶわけですので、８×７×６×５＝１６８０通りの検証をしないといけなくなります。

１、２、３、４、５、６、７、８の８つの数字からなる４桁の数字で、ＡＢＣＤは、大きい数の順に並んでいるので、最低でも４３２１、最大だと８７６５となります。
ということは、Ａには４～８の数字が、Ｄには１～５の数字が入るということになります。
このようにしぼっても、やはり膨大な量のパターンを検証しなければいけないということはすぐにわかります。

そこで、偶数ー偶数＝偶数、奇数ー奇数＝偶数、偶数ー奇数＝奇数、奇数ー偶数＝奇数というパターンに分けることを考えますが、これではかえって複雑になってしまいます。

そこで注目するのが３の倍数です。

なぜなら、ＡＢＣＤを入れ替えて、ＤＣＢＡをつくる。
そしてＡＢＣＤとＣＤＢＡの差が、ＥＦＧＨであるということから、３の倍数の特徴を考えてみます。

ＡＢＣＤとＤＣＢＡのように順番を入れ替えても、各桁の数の和が３の倍数であればいいので、ＡＢＣＤが３の倍数であれば、必ずＤＣＢＡも３の倍数となり、かつその差、つまりＡＢＣＤ－ＤＣＢＡ＝ＥＦＧＨも３の倍数になります。

ＡＢＣＤもＥＦＧＨも３の倍数であるということは、これらの各桁をすべて足した数も３の倍数である必要があります。
そこで、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝（１＋８）×８÷２＝３６となり、３の倍数になっています。

ということは、ＡＢＣＤもＦＥＧＨも３の倍数である可能性があります。
そこでＡＢＣＤの各桁の和が３の倍数になるものをピックアップします。

Ａには４～８の数字しか入らないので、８から検討していくと、ＡＢＣＤが３の倍数であるとしたときの候補は次のようになります。
8763、8754、8751、8742、8721、8652、8631、8541、8532、7641、7632、7542、7431、6543、6531、6432、6321、5421　以上の１８ケースに絞れたのであとは検証します。
すると次のようになります。

EFGHで、０が含まれているもの、同じ数が重複して複数入っているものを除くと、ＡＢＣＤが、8754、8631、8532、7641、5421の５つに絞れます。
この５つの中で、ＡＢＣＤとＥＦＧＨのそれぞれの数が全く重複しないものは、ＡＢＣＤが8532の時に、DFGHが6174の時だけですので、答えが出ました。

ＡＢＣＤ＝８５３２
ＤＣＢＡ＝２３５８
ＡＢＣＤ－ＤＣＢＡ＝ＥＦＧＨ＝６１７４
これで無事、１～８までの全ての数字が使われているのがわかります。