１と２が書かれた６枚のカードでできる整数問題

６枚のカードがあって、それぞれには１、２、１１、２２、１２、２１と数字が書かれています。
これら６枚のカードを横一列に並べることで、１０桁の整数をつくります。

たとえば、１、２、１１、１２、２２、２１と並べると、「１２１１１２２２２１」という整数ができます。

このようにしてできる整数は全部で何通りあるでしょうか。

でてきている数字は１か２で、それぞれ５つずつということなので、まずは１が５つ、２が５つで作れる整数がいくつあるか考えます。
このままではわかりにくいので、「１０個の部屋があって、そこに１を５つ入れる方法は何通りあるか」と考えます。
そして、１が入らなかった５部屋には２が入ればいいと考えるのです。

すると、１が入る部屋を１０部屋あるうちから５部屋選ぶと考えると、
１０Ｃ５　＝　(１０×９×８×７×６) ／ (５×４×３×２×１)　＝　２５２通りになります。

これから、できない整数がいくつあるかを検討し、引けばいいのです。

まずは、１１と２２があるので、「１２１２１２・・・・」、「２１２１２１・・・・」というように頭から１と２が交互に６つ並ぶ数字はできません。
この組み合わせがそれぞれ、４×３／２×１＝６通りで、計１２通りあります。

あとは、「１１１１１・・・・・」、「２２２２２・・・・・」というように頭から１または２が連続して５つ並ぶ整数もできません。
この組み合わせがそれぞれ１通り、計２通りあります。

さらに、これが見落としがちですが、「２１１１１１・・・・」、「１２２２２２・・・・」というように１または２が連続して５つ並ぶ整数もできません。
この組み合わせがそれぞれ１通り、計２通りあります。

つまり、最終的に、２５２ー（１２＋２＋２）＝　２３８通りとなります。