カメレオンの色、全て同じ色になるのか

一見簡単そうな問題ですが、よくよく考えてみると結構難しい問題です。
ややこしそうなので、２匹のカメレオンが接触したときのケースを考えてみます。

赤のカメレオンと赤のカメレオンが接触した場合は、同色どうしなので変化は起こりません。
つまり、カメレオンの数に変化はなく、赤が１５匹、青が１６匹、緑が１８匹、合計４９匹のままです。

赤のカメレオンと青のカメレオン　が接触した場合は、赤のカメレオンも青のカメレオン　も緑のカメレオンになるので、この接触により、赤のカメレオンと青のカメレオン　が１匹ずつ減り、逆に緑のカメレオンは２匹増えることになります。
つまり、カメレオンの数は、赤が１５－１＝１４匹、青が１６－１＝１５匹、緑が１８＋２＝２０匹で合計４９匹となります。

赤のカメレオンと緑のカメレオンが接触した場合は、赤のカメレオンも緑のカメレオンも青のカメレオン　になるので、この接触により、赤のカメレオンと緑のカメレオンが１匹ずつ減り、逆に青のカメレオン　は２匹増えることになります。
つまり、カメレオンの数は、赤が１５－１＝１４匹、青が１６＋２＝１８匹、緑が１８－１＝１７匹で合計４９匹となります。

以上のことからわかることは、１回の接触でカメレオンの数は、赤・青・緑ともに±０か、ー１か、＋２のいずれかになるということです。

ここで、各色のカメレオンの数に影響を与えない±０のケースは無視して考えてよいので、－１、＋２となる接触のパターンを考えると、次の①～③の３パターンしかありません。

全てのカメレオンが同じ色になるケースは、赤色のカメレオンが４９匹で青色と緑色のカメレオンが０匹、青色のカメレオン　が４９匹で赤色と緑色のカメレオンが０匹、緑色のカメレオンが４９匹で赤色と青色のカメレオン　が０匹のいずれかです。

①のパターンの接触がｘ回、➁のパターンの接触がｙ回、③のパターンの接触がｚ回あったとすると、当然、ｘ、ｙ、ｚは０を含む正の整数になります。

以上のことを踏まえ、もし、カメレオンがすべて同じ色になるケースがあるとすると、

全て赤色のカメレオンになるケース
１５－ｘーｙ＋２ｚ＝４９
１６－ｘ＋２ｙ－ｚ＝０
１８＋２ｘーｙ－ｚ＝０

全て青色のカメレオン　になるケース
１５－ｘーｙ＋２ｚ＝０
１６－ｘ＋２ｙ－ｚ＝４９
１８＋２ｘーｙ－ｚ＝０

全て緑色のカメレオンになるケース
１５－ｘーｙ＋２ｚ＝０
１６－ｘ＋２ｙ－ｚ＝０
１８＋２ｘーｙ－ｚ＝４９

この３ケースで、ｘ、ｙ。ｚが０を含む正の整数の時に成り立つかを確認すればいいのです。

さて、ここまでくれば、もう９割がた正解できたようなものです。

全てが赤色のカメレオンになるケース

まずは全て赤色のカメレオンになるケースを考えてみます。
１６－ｘ＋２ｙ－ｚ＝０
１８＋２ｘーｙ－ｚ＝０
この２つの式から、次の式が導き出せます。
２＋３ｘ－３ｙ＝０
３ｘも３ｙも３の倍数なので、この式は成り立たないことがすぐにわかります。

１５－ｘーｙ＋２ｚ＝４９
１６－ｘ＋２ｙ－ｚ＝０
この２つの式から、次の式が導き出せます。
ー１ー３ｙ＋３ｚ＝４９　これを変形すると、－３ｙ＋３ｚ＝５０になります。
３ｙも３ｚも３の倍数なので、それらをお互いに足したり引いたりしても３の倍数になるはずですが、５０は３の倍数ではないので、この式も成り立ちません。

１５－ｘーｙ＋２ｚ＝４９
１８＋２ｘーｙ－ｚ＝０
この２つの式から、次の式が導き出せます。
－３－３ｘ＋３ｚ＝４９　これを変形すると、－３ｘ＋３ｚ＝５２になります。
３ｘも３ｚも３の倍数なので、それらをお互いに足したり引いたりしても３の倍数になるはずですが、５２は３の倍数ではないので、この式も成り立ちません。

したがって全てが赤色のカメレオンになることはありません。

全てが青色のカメレオン　になるケース

全て青色のカメレオン　になるケースを考えてみます。
１５－ｘーｙ＋２ｚ＝０
１８＋２ｘーｙ－ｚ＝０
この２つの式から、次の式が導き出せます。
３＋３ｘ－３ｚ＝０　これを変形すると、３ｘ＝３ｚ－３となります。
すると、ｘ、ｙ、ｚが０を含む正の整数のとき、ｘ＝ｚ－１の関係で成立する可能性があることがわかります。

あとは同様に考えていきます。
１５－ｘーｙ＋２ｚ＝０
１６－ｘ＋２ｙ－ｚ＝４９
このケーズは、１＋３ｙ－３ｚ＝４９で不成立

１６－ｘ＋２ｙ－ｚ＝４９
１８＋２ｘーｙ－ｚ＝０
このケースは、－２－３ｘ＋３ｙ＝４９　つまり、３ｙ＝３ｘ＋５１となります。
５１は３の倍数なので、ｘ、ｙ、ｚが０を含む正の整数のとき、ｙ＝ｘ＋１７の関係で成立する可能性があることがわかります。

したがって全てが青色のカメレオン　になることはあります。

全てが緑色のカメレオンになるケース

全て緑色のカメレオンになるケースも同様に考えてみます。

１５－ｘーｙ＋２ｚ＝０
１６－ｘ＋２ｙ－ｚ＝０
このケーズは、１＋３ｙ－３ｚ＝０で不成立

１５－ｘーｙ＋２ｚ＝０
１８＋２ｘーｙ－ｚ＝４９
このケーズは、３＋３ｘ－３ｚ＝４９で不成立

１６－ｘ＋２ｙ－ｚ＝０
１８＋２ｘーｙ－ｚ＝４９
このケーズは、２＋３ｘ－３ｙ＝４９で不成立

したがって全てが緑色のカメレオンになることはありません。

全て青色のカメレオン　になるケースを考えてみます。
１５－ｘーｙ＋２ｚ＝０
１８＋２ｘーｙ－ｚ＝０
この２つの式から、次の式が導き出せます。
３＋３ｘ－３ｚ＝０　これを変形すると、３ｘ＝３ｚ－３となります。
すると、ｘ、ｙ、ｚが０を含む正の整数のとき、ｘ＝ｚ－１の関係で成立する可能性があることがわかります。

しかしここで、全てが青色のカメレオン　になるためには、１５匹の赤のカメレオンと１８匹の緑のカメレオンが青色にならねければいけないので、１回の接触で２匹が緑のカメレオンになったとしても、最低でも１８回の接触は必要であることがわかります。

①のパターンの接触がｘ回、➁のパターンの接触がｙ回、③のパターンの接触がｚ回として計算してきているので
つまり、②のパターンの接触が最低でも１５回、つまりｙ＞１５となり、さらに、ｘ＝ｚ－１を満たす必要があります。

１５－ｘーｙ＋２ｚ＝０　に　ｘ＝ｚ－１を代入すると、１６＋ｚ－ｙ＝０

ｘ＝ｚ－１　も　１６＋ｚ－ｙ　も満たす（ｘ、ｙ、ｚ）の組み合わせはいくつもありますが、ｘ＝０として考えると
（ｘ、ｙ、ｚ）＝（０、１７、１）になります。

果たして、このケースで全てのカメレオンが青色になるか検証してみます。

まず、最初にｚに該当する接触、つまり青色のカメレオン　１匹と緑色のカメレオン１匹が接触すると、赤色のカメレオンが２匹になるので、
赤色のカメレオンは１５＋２＝１７匹、青色のカメレオン　は１６－１＝１５匹、緑色のカメレオンは１８－１＝１７匹になります。

あとは同数となった赤色のカメレオン１７匹と緑色のカメレオン１７匹をそれぞれ１対１で接触させれば、
赤色のカメレオンは１７－１７＝０匹、青色のカメレオン　は１５＋３４＝４９匹、緑色のカメレオンは１７－１７＝０匹になります。

ということで、